Ruang Vektor - Aljabar Vektor

 

Apa itu ruang n-euclid?

Sebelum mengetahui materi yang akan kita pelajari, kita harus mengetahui terlebih dahulu apa itu ruang n-euclid. Ruang n-euclid termasuk kedalam materi ruang vektor. Ruang vektor sebelumnya sudah dipelajari di kelas SMA. Pada semester 3 jurusan pendidikan matematika UIN Raden Intan Lampung, mata kuliah aljabar vektor akan dipelajari lebih jauh lagi.  Pada pembahasan ini, kita akan membahas Ruang Euclid lebih lanjut lagi. Ruang Euclid (Rn) yang akan dibahas dalam pertemuan ini adalah  ruang vektor. 

Ruang vektor pada ruang euclid adalah struktur matematika yang dibentuk oleh sekumpulan vektor, yaitu objek yang dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang dinamakan skalar. Skalar sering adalah bilangan riil, tapi kita juga dapat merumuskan ruang vektor dengan perkalian skalar dengan bilangan kompleks, bilangan rasional. Operasi penjumlahan dan perkalian vektor harus memenuhi persyaratan tertentu yang dinamakan aksioma. Contoh ruang vektor adalah vektor Euclid yang sering digunakan untuk melambangkan besaran fisika seperti gaya. Vektor yang melambangkan perpindahan pada bidang atau pada ruang tiga dimensi juga membentuk ruang vektor.

Ruang vektor dalam al-qur'an surat Ar-Rum ayat 20 :

Artinya;

Dan di antara tanda – tanda kekuasaan-Nya ialah Dia menciptakan kamu dari tanah, kemudian 

tiba – tiba kamu (menjadi) manusia yang berkembang biak.

Ayat tersebut menunjukkan siklus awal kehidupan, yakni diciptakannya manusia oleh Allah SWT, yang seiring berjalannya waktu akan mengalami perkembangan. Dari ayat tersebut, siklus awal kehidupan diibaratkan sebagai sebuah titik pangkal, dan perkembangannya dimisalkan sebagai suatu ruas garis yang berarah. Jika ada titik awal, maka menurut hukum alam pastilah ada suatu titik akhir. Titik akhir kehidupan adalah kematian yang peluangnya sempurna, yakni Jika kehidupan diibaratkan suatu titik pangkal, maka kematian adalah akhir atau ujung dari ruas garisnya. 

Oleh karena itu, setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan mampu mengetahui definisi ruang Euclidean (Rn), mengetahui definisi dan aksioma ruang vektor dalam bahasa n-Euclidean, dan melakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada vektor

1. Ruang n-Euclid

Definisi:

Sebuah vektor Rⁿ dinyatakan oleh n bilangan terurut yaitu u=(u₁,u₂,...,u_n). Pada R² atau R³  atau sebuah urutan bilangan di atas ada maknanya yaitu sebagai titik atau sebagai vektor. Dalam keduanya dianggap sama sehingga Rⁿ merupakan generalisasi titik sekaligus generalisasi vektor. 

Definisi ruang vektor,  jika V adalah himpuanan tak kosong dari objek dimana operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek vektor u, v Є V dengan suatu objek vektor u dan v, yang disebut sebagai jumlah dari vektor u dan v. Sedangkan perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan objek ū Є V dengan suatu objek vektor u dan v, dengan objek ku . Jika 10 aksioma terpenuhi oleh semua  objek vektor u, v dan w Є V dan skalar k dan m, maka V disebut ruang vektor dan semua objek didalamnya disebut vektor.

AKSIOMA 1: